af Tore Sørensen, lærer. P.t. ansat ved Rising-projektet i Odense. Underviser her 16-20årige indvandrere og flygtninge i dansk og matematik

Matematikfaget er, som det tager sig ud i dansk sammenhæng, blevet udfordret af den tosprogede elevgruppe, der ikke får tilstrækkeligt udbytte af den nuværende undervisningspraksis. TIMMS -undersøgelsen (Third International Mathematics and Science Study 1995) viste, at den tosprogede elevgruppe er klart overrepræsenteret i den fagligt svageste gruppe. OECD-undersøgelsen PISA (Programme for International Student Assessment 2000) med deltagelse af 32 lande dokumenterede endvidere, at 2.generations tosprogede ikke klarer sig bedre end 1. generation i hverken matematik, dansk eller naturfagene.¹ En foruroligende situation, som kalder på revurdering af et åbenbart ekskluderende skolesystem og dets undervisningspraksis. Eksterne faktorer påvirker selvfølgelig skolens hverdag, men skolen kan ikke fralægge sig sin del af ansvaret for den nuværende situation.

I lande som USA, Australien, Sverige og Norge har man i indtil flere årtier været opmærksom på de problemstillinger, der gør sig gældende i matematikundervisning med tosprogede elever, mens det i Danmark er et relativt uudforsket felt. Læreren, der underviser tosprogede elever, forsøger selvsagt at udvikle en begrundet undervisningspraksis, der tager højde for den enkelte elevs særlige sproglige og faglige forudsætninger, men erfaringerne er i Danmark ikke blevet samlet, evalueret og formidlet i større målestok, og uddannelsesmæssigt har bevågenheden været forsvindende lille. Feltet vil blive stadig mere aktuelt de kommende år, set i lyset af at andelen af tosprogede elever i folkeskolen om 5 år vil udgøre mindst 12%.² Der er således et meget stort behov for dokumentation og evaluering af forskellige undervisningsmodeller, således at en „best-practice" kan udvikles.

I udviklingsprojektet Dansk som andetsprog i fagene indgik en matematikfaggruppes overvejelser over, hvordan undervisningen kan tilgodese de tosprogede elevers tilegnelse af matematik, herunder give eleverne mulighed for at udvikle deres kommunikative kompetence i faget. I rapporten har gruppen angivet retningslinier for en matematikdidaktik på folkeskole- og gymnasieniveau.

I denne artikel vil jeg for egen regning og i modificeret form fremlægge de overvejelser, der udsprang af matematikgruppens arbejde med andetsprogsdimensionen. Efter en indkredsning af problemstillinger, der knytter sig til matematikundervisning med tosprogede elever, vil gruppens didaktiske anvisninger blive præsenteret.

Undervejs vil jeg inddrage en række københavnske matematiklæreres erfaringer med undervisning af tosprogede elever, som de er blevet fremført på den aktuelle københavnske kursusrække Sprog og fag.

Den kommunikative kompetence i matematik
Matematikfagets progression kan beskrives som en bevægelse fra en konkret imod en stadig mere abstrakt forståelse af matematik. I matematikfaget tjener sproget som middel til organisering af viden og logisk tænkning, herunder abstraktion, generalisering og kategorisering.³ Det særlige sprog, der knytter sig til matematikundervisningen, kaldes det matematiske register. Register er et bredere begreb end ’terminologi’, da det rummer såvel fagudtryk som strukturelle kendetegn.⁴ Matematikfaget byder i formuleringen af abstrakte matematiske sammenhænge på en række vanskeligheder: informationstæthed, kompleks syntaks, fagteknisk ordforråd og brug af forholdsord.⁵

At matematik betjener sig af et tilnærmelsesvis universelt symbolsprog ændrer ikke ved det faktum, at faget og dets indhold er indlejret i sproglige og ofte også kulturelt betingede kontekstuelle sammenhænge⁶, og at den matematiske viden og sproglige kompetence udvikles sideløbende.⁷

For folkeskolefaget matematiks vedkommende kan det bl.a. aflæses i slutmålene, hvilke krav der stilles til den enkelte elevs kommunikative kompetence. Her anvendes formuleringer som ’tolke’, ’forholde sig til’, ’erkende’, ’formulere’, ’argumentere’, ’vurdere’, ’kommunikere’ og ’bruge hverdagssprog i samspil med matematikkens sprog’.⁸ Kort sagt: at vise indsigt om og vha. matematik kræve, at den enkelte elev sideløbende udvikler såvel sin lingvistiske, pragmatiske som strategiske kompetence.

Matematikundervisning med tosprogede elever
Af problemstillinger i forhold til gældende praksis kan nævnes:

• Undervisningen i matematik stiller store krav til elevernes sprogbeherskelse⁹
• Ofte er det ikke matematikken, der er problemet, men mødet med sproget og kommunikationen¹⁰
• Her slår sproget ikke til: samarbejde og klassediskussioner samt problemløsning, der er indlejret i tekst¹¹
• Eleverne får ofte mulighed for at praktisere læsning og lytning i matematikundervisningen, men sjældnere for at tale eller skrive om matematik

Symptomer på sproglige vanskeligheder kan være tosprogede elevers ringere prøveresultater, koncentrationsproblemer i klassen, eller at tosprogede elever sendes til specialundervisning pga. sproglige – og ikke matematikfaglige – vanskeligheder. Tosprogede elever oplever ofte, at de i matematikundervisningen ikke får praktiseret udtalen af de forskellige begreber, og at det er meget frustrerende ikke at kunne udtrykke sin tænkning på andetsproget.¹²

Problemstillingerne afspejles i de erfaringer, som københavnske matematiklærere har i undervisningen med tosprogede elever. Generelt har de tosprogede elever lettere ved færdighedsopgaver end problemorienterede opgaver, hvor kravene til de sproglige kompetencer er større.

At tosprogede elever oplever problemløsning af åbne opgaver som vanskelig vidner om, at arbejdsprocessen i forbindelse med aktiviteten skal skænkes særlig opmærksomhed.

Lærerne oplever derudover, at de tosprogede elever ikke har noget udbytte af lærerens introduktion til et nyt område. Uanset entusiasme, humor og retoriske spidsfindigheder kan læreren ikke undslippe det faktum, at det er hans egen forståelse af dagens emne og matematik generelt, der primært kommer til udtryk. Klasseoplægget bygger på den antagelse, at det er muligt for læreren at præsentere nyt stof på et niveau, således at samtlige elever kan knytte an til det. I realiteten vil læreren tilpasse niveauet efter en mere eller mindre fiktiv homogen middelgruppe, og resten af eleverne vil enten kede sig og/eller ikke få noget udbytte.¹³

I modsætning til klassesamtalen har mange lærere gode erfaringer med arbejdsformen makkersamarbejde, hvor eleverne i højere grad tør udtrykke sig på andetsproget, eller hvor modersmålet kan benyttes som støtte for begrebsudviklingen og andetsprogstilegnelsen.

Den sproglige og matematiske begrebsudvikling
I forbindelse med Sprog og fag anfører mange lærere en undren over, at mange elever, heriblandt tosprogede, ’glemmer’ en stor del af den oparbejdede viden, hvilket læreren observerer året efter, når et givent område igen er på dagsordenen. Der er en sammenhæng imellem den måde, eleverne beskæftiger sig med matematik, og i hvor høj grad de tilegner sig viden og udvikler begreber. Eleverne vil have lettere ved at huske de matematiske begreber, hvis de har mulighed for at anvende begreberne hyppigt og i sammenhænge, hvor begreberne bearbejdes dybt kognitivt. Samtidig er det vigtigt, at eleven kan knytte begreberne an til sit personlige associationsnetværk, og at der arbejdes alsidigt med begreberne i varierende præsentationsformer.¹⁴

Sproget er ikke blot et kommunikationsmiddel, men fungerer også som hjælpemiddel i selve begrebsudviklingen. Undervisningen bør derfor give eleverne mulighed for at koble ny viden til allerede eksisterende viden og for at udtrykke sig om matematik ud fra den antagelse, at vi udvikler begreber ved at udtrykke os sprogligt, og at forståelse ikke er noget, man har eller ikke har, men noget som forandres og udvikles - også inden for matematik.

Lærerens planlægning og målsætning
Første forudsætning for at tilgodese andetsprogstilegnelsen i undervisningen er, at læreren i sin planlægning er opmærksom på den sproglige dimension i form af nye begreber og konstruktioner fra det matematiske register, og hvorledes eleverne skal beskæftige sig med dem for at tilgodese udviklingen af begreber og sprogtilegnelsen.

I forhold til andetsprogstilegnelsen kan læreren i sin undervisningsplanlægning indtage to forskellige positioner: 1. inddrage den matematiksproglige dimension og derved understøtte tilegnelsen af den matematiske begrebsdannelse. 2. samle op undervejs ved at svare på elevernes forståelsesspørgsmål, hvilket erfaringsmæssigt ofte er en uoverstigelig opgave, ligesom det fra den tosprogede elevs perspektiv ikke er tilfredsstillende altid at skulle søge vejledning, fordi undervisningen ikke tager udgangspunkt i elevens sproglige forudsætninger.

Som i de øvrige skolefag er det et mål, at eleverne har et stort ordforråd, som de kan anvende funktionelt, dvs. at de kan være sprogligt aktive med indsigt i de anvendte begreber. At opstille sproglige mål (udover matematikfaglige og sociale mål) er at tage faget alvorligt som forståelses- og refleksionsfag, hvilket ikke kun er til fordel for de tosprogede elever.

Problemløsning og indlæringsstrategier
Vi bliver alle mødt af (faglige) udfordringer, som vi ikke er i stand til at løse med det samme, men som kræver tid til undersøgelse og refleksion. For at vi kan komme succesfuldt igennem denne proces er det afgørende, at vi har tilegnet os nogle metoder til at identificere og udskille det centrale i problemet og bevæge os videre derfra.

Det er ikke mindst vigtigt for den tosprogede elevgruppe, for hvem de sproglige sammenhænge ofte vil give forståelsesvanskeligheder. PISA-undersøgelsen peger på, at der er forskelle (dog med store overlap) imellem de indlæringsstrategier, som to- og etsprogede elever tager i brug i læringsprocessen. Tosprogede elever er mere orienterede mod at anvende hukommelsen og tidligere tilegnet viden.¹⁵ Dette stemmer overens med mange læreres oplevelse af, at en stor del af de tosprogede elever er meget målrettede med skolearbejdet, og f.eks. laver noter til eget brug, anvender ordbog, overordnet tager kontrol over og er bevidste om egne læringsprocesser. Dette er en oplagt ressource, som læreren bør give opmærksomhed i undervisningen.

For at tilgodese elevernes læring og opmærksomhed mod forskellige indlæringsstrategier er det hensigtsmæssigt at gå i dybden med færre opgaver end at løse mange opgaver. Ideelt udvikler eleverne igennem problemløsningen en metakognitiv bevidsthed, hvor de bliver i stand til at udskille og organisere de væsentlige informationer samt evaluere løsningsmuligheder.¹⁶ Problemløsningsaktiviteten kan deles op i en forberedelse, selve problemløsningen og en efterbehandling. Under forberedelsen danner eleverne sig et overblik over problemet og foreslår forskellige løsningsstrategier, med det formål at undgå at eleverne vælger reduktionsstrategier.¹⁷ Under problemløsningen fungerer læreren som vejleder. Eleverne skal sammenholde løsningsmuligheder med de givne forudsætninger. Der afsluttes med en efterbehandling, hvor eleverne argumenterer for løsninger og hensigtsmæssige arbejdsprocesser. Gennemløbet af de 3 faser sikrer, at eleverne får mulighed for at udvikle matematisk forståelse igennem de metakognitive, kognitive og social/affektive indlæringsstrategier.¹⁸ Og ikke mindst at den enkelte elev udvikler bevidsthed om, at man selv eller sammen med en makker kan finde matematiske sammenhænge.¹⁹

Læringsmiljø der medtænker tosprogede elever
Tosprogede elever skal have mulighed for at deltage aktivt i matematikundervisningen, hvilket forudsætter at eleverne får mulighed for at arbejde med den sproglige dimension, og at læreren har redskaber til at afgøre, hvilke forhold der påvirker kvaliteten af elevernes tilegnelse af viden og kunnen i matematik.

Når en fagkultur udfordres og problematiseres, udvikler den sig - også til fordel for de etsprogede elever. Det er således en pointe, at såvel etsprogede som tosprogede elever vil have større fagligt udbytte i en kommunikativ matematikundervisning, der i højere grad vægter elevens udtryksfærdighed om og vha. matematik.

Erfaringerne fra Sprog og fag viser, at læreren har en altafgørende indflydelse på, hvordan læringsmiljøet fungerer. Flere lærere i især indskolingen og på mellemtrinnet formår at etablere samarbejdsmønstre, hvor eleverne søger og tilbyder vejledning hos hinanden. Læreren optræder i en vejlederrolle, der med bevidst brug af åbne og lukkede spørgsmål giver eleven mulighed for at argumentere og tale sonderende.

Ikke desto mindre er der en tendens til, at læreren i løbet af en lektion besidder (langt) størstedelen af taletiden, og konstant ’samler op’ på sproget (læreren forklarer, når eleverne giver udtryk for forståelsesvanskeligheder) som et nødvendigt onde, før man kan komme videre med den ’sande’ matematik. Dette fastlåser elevens opfattelse af ikke ’at slå til’ fagligt og sprogligt og udgør samtidig et umuligt udgangspunkt for undervisningsdifferentiering.

Igennem klart strukturerede opgaver, hvor den enkelte elev får tid og mulighed for at udtrykke sig på sit faglige niveau, vil eleven udvikle og afprøve begreber og metoder. Man kan godt (skal!) beskæftige sig med fagligt svært indhold, men opgaverne skal være overkommelige med klare rammer. At integrere sproget i faget og give det opmærksomhed i sin planlægning af undervisningen vil også give læreren mulighed for at organisere aktiviteter, hvor eleven viser, at han/hun kan noget med matematikken og sproget. Lad eleverne anvende dansk, når de er parate til det. Der er mange måder at vise viden og indsigt på.

Skolens sprogcenter er også en ressource, som læreren kan inddrage for at støtte elevens sproglige forståelse af de temaer, som man arbejder med i matematikundervisningen.

Matematikken skal være synlig i klasserummet i form af plancher, tegninger, modeller og ordlister. Dette vil være en støtte i det daglige for samtlige elever. Der bør desuden altid være konkrete materialer til rådighed.

Alsidige tilgange til matematikken
I forhold til hvad læreren skal være opmærksom på i forbindelse med undervisningen af tosprogede elever, blev udviklingsprojektets matematikfaggruppe inspireret af læringscirklen, udfærdiget af svenskeren Gudrun Malmer.²⁰

Cirklen anskueliggør forskellige tilgange til matematik, og pointen er, at den sproglige og matematiske begrebsudvikling tilgodeses, hvis eleverne igennem et forløb får mulighed for at anvende samtlige tilgange.

Tænke, tale
Undervisningen må tilpasses elevernes varierende forudsætninger, og derfor må elevernes erfaringer, ordforråd, associationer i forhold til de matematiske fagområder være udgangspunktet.

Handle, prøve
Jo flere perceptuelle tilgange, der anvendes jo bedre. At handle og prøve i form af konkrete aktiviteter understøtter begrebsudviklingen.

Synliggøre
Eleven får mulighed for at strukturere sine tanker ved at udtrykke sin forståelse af matematikken vha. forskellige repræsentationsformer, f.eks. billeder, figurer, modeller, faglig skrivning. Elevens udtryk kan inddrages i det videre undervisningsforløb.

Symboler
Det er vigtigt, at den tilegnede viden generaliseres, således at eleverne får indsigt i den formelle matematik, herunder de matematiske symbolers funktion og anvendelse.

Anvendelse
Der skal fokuseres på, at matematikken hjælper os til at forstå verden omkring os og til at løse daglige problemer.

Refleksion
Undervisningen skal ofte give den enkelte elev mulighed for at reflektere over matematikken med sin egen tænkemåde og sit eget sprog.

Forslag til aktiviteter, der integrerer fag og sprog
Overordnet drejer det sig om at etablere undervisningssituationer, der har såvel den matematiske begrebsudvikling som andetsprogstilegnelsen i fokus. Ved at vægte samtale og samarbejde i mindre grupper vil læreren frigøres til en vejlederrolle, der giver ham eller hende mulighed for at skabe sig overblik over sprog- og matematiktilegnelsen hos eleverne.

Samtlige nedenfor nævnte aktiviteter er eksemplariske, da de kan tilpasses alle klassetrin.

• Faglig skrivning kan inddrages i både introduktionen af et nyt fagområde, undervejs i forløbet eller som evalueringsværktøj. Det er en glimrende aktivitet, der synliggør elevens refleksion over begreber og egen læring i skriftlig form.
• Omvendte regnefortællinger, hvor eleverne skal finde spørgsmålet i stedet for svaret ud fra deres egne faglige og sproglige forudsætninger, udvikler matematisk forståelse igennem samtale.
• Samtalekort er et ’spil’, der arbejdes med i grupper á 4 eller 6 elever. Hver elev har sit særlige kort med et udsagn, der skal opfyldes. Igennem diskussion og argumentation forhandler eleverne sig frem til en løsning, der tager højde for samtlige udsagn.²¹
• Værkstedsundervisning er en oplagt metode i elevernes ’handle og prøve’-fase (jf. læringscirklen).
• Storylinemetoden kan inddrages i arbejdet med at relatere matematikken til dagligdagen og omvendt. Eleverne får herigennem mulighed for at lave overføring mellem praktiske situationer og matematiske begreber og procedurer.
• Problemløsningsark, der deler problemløsningen op i trin, hvor spørgsmålet, informationer, beregning og tekstsvar adskilles tydeligt. Dette er en god metode, der giver eleven mulighed for at skabe sig et overblik over arbejdsprocessen i forbindelse med tekstindlejrede problemer.²²
• Udarbejdelse af ordliste med forklaringer, eksempler og illustrationer af matematiske begreber samt relevante førfaglige ord, enten på fil eller i hæfte. Den kan rumme oversættelser til modersmål, inddeles i matematiske områder (geometri, algebra, koordinatsystemet etc.) og igennem skoleforløbet komme til at udgøre et referencemateriale, der anvendes og udbygges i undervisningen.
• Mindmap med elevers associationer ud fra fagudtryk, eksempler eller kontekst.
• Elevgrupper formulerer opgaver til hinanden ud fra materiale, som udleveres af læreren (f.eks. frimærker, mønter, terninger, tændstikker).
• Elever formulerer opgaver til hinanden med udgangspunkt i aktuelt fagligt område.

Noter

^{1 Egelund s. 72}

^{2 Egelund s. 85}

^{3 MacGregor s. 2}

^{4 Rönnberg s. 34}

^{5 MacGregor s. 3}

^{6 Rönnberg s. 19f}

^{7 MacGregor s. 2}

^{8 Undervisningsministeriet}

^{9 Rönnberg s. 11}

^{10 Høines}

^{11 Høgmo}

^{12 MacGregor s. 19}

^{13 Lunde 2001 s. 68}

^{14 Birgit Henriksen}

^{15 Egelund s. 58f}

^{16 Lunde 2001 s. 96f}

^{17 Holm og Laursen, s. 79}

^{18 I matematikbidraget til rapporten „Dansk som andetsprog i fagene" findes en oversigt over processen s. 7-8}

^{19 Lunde 2001 s. 130}

^{20 Malmer}

^{21 Erickson har udfærdiget et materiale bestående af samtalekort}

^{22 Eksempler på anvendelse af problemløsningsark findes i Lunde 2002}

Litteratur

Egelund, Niels (2003): Tosprogede og dansksprogede – forskelle mellem faglige og sociale færdigheder for de 15-16 årige unge, Danmarks Pædagogiske Universitets Forlag

Erickson, E. (1989): Get it together, University of California.

Henriksen, Birgit (2001): Ordforråd og ordforrådsindlæring in: Studier i dansk som andetsprog (red. Holmen, Anne og Lund, Karen), Akademisk Forlag.

Holm, Lars og Laursen, Helle Pia (2000): Andetsprogsdidaktik, Dansklærerforeningen.

Høgmo, A. (1997): Læring fra monolog til dialog in: Norsk pedagogisk tidsskrift, nr.5/1997.

Høines, M. J. (1998): Begynneroplæringen, Caspar forlag.

Lunde, Olav (2001): Tilrettelagt opplæringfor matematikkmestring, Info Vest Forlag.

Lunde, Olav (2002): Rummelighed i matematik – bog A-C, Forlag Malling Beck.

Malmer, G. (1999): Bra matematik för alle. Studentlitteratur.

MacGregor, Mollie og Moore, Robert (1989): Teaching Mathematics in the Multicultural Classroom. A Resource for Teachers and Teacher Educators. Melbourne: University of Melbourne.

Rönnberg, Irene og Lennart (2001): Minoritetselever och matematikutbildning – en litteraturöversikt. Skolverket, Liber.

Undervisningsministeriet: Fælles Mål Matematik,
www.faellesmaal.uvm.dk/fag/Matematik/

Eksempler på en række praksisforløb og aktivitetsforslag findes i rapporten Dansk som andetsprog i fagene, der kan downloades på www.tosprogede.kk.dk